アフィン変換

アフィン空間の対称性をたもつような写像はアフィン変換またはアフィン写像と呼ばれる。アフィン空間 A に対し、A 上のベクトルの空間 V = V(A) は平行移動によって推移的に作用する。また点 O を一つ選んで固定するとき、V 上の線型変換 T は（V = (A, O) と同一視することにより）原点 O を動かさない変換として A に作用すると考えることができる。このとき、T は原点を中心とする回転、拡縮、剪断などとして得られるが、これと平行移動（およびその引き戻し）を用いることにより任意の点を中心とする変換にすることができる。すなわち体K上のベクトル空間 V0, V1 をそれぞれ並進対称性の群（平行移動群）とするアフィン空間 E0, E1のあいだのアフィン変換とは、写像 T: E0 → E1 であって、E0 の任意の二点 x, y に関して、x − y に Tx − Ty を対応させる関係が V0 から V1 への線型写像になっているようなものである。

アフィン変換はアフィン空間における凸包の構造を保つ。E0 の元の組 x1, ... , xm の任意のアフィン結合について、

a 1 T x 1 + ⋯ + a m T x m = T ( a 1 x 1 + ⋯ + a m x m ) ( 1 = a 1 + ⋯ + a m ) {\displaystyle a_{1}Tx_{1}+\cdots +a_{m}Tx_{m}=T(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})\quad (1=a_{1}+\cdots +a_{m})} a_{1}Tx_{1}+\cdots +a_{m}Tx_{m}=T(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})\quad (1=a_{1}+\cdots +a_{m})

を満たすものとしてアフィン写像を特徴づけることもできる。

実際には、任意のアフィン写像は変換前の原点を変換後の原点に移す平行移動と、各点と原点とのあいだの差のベクトルに関する線形変換との合成によってあたえられる。

アフィン空間内の二つの図形が、可逆なアフィン変換によって互いに移り合うとき、その二つの図形は互いにアフィン合同であるという。ユークリッド空間においてアフィン合同かつ角度を保つということと相似であるということとは同値であり、アフィン合同かつ角度も線分の長さも変えないということは合同であるということである。

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