特殊なアフィン空間(ユークリッド空間)

台集合 A を実数全体の集合 R の n 個の単なる直積集合としての Rn とし、ベクトル空間 V をデカルト座標をあたえる標準内積に関する計量ベクトル空間としての Rn としたとき、アフィン空間 (Rn, Rn) を n-次元ユークリッド空間という。このとき、定義節に掲げたアフィン空間の構造を定める三条件ユークリッド空間のワイルの公理と呼ぶ。

ユークリッド幾何学で記述される図形の性質というものは、その図形の絶対的な位置には関わりのないものである。したがってこのような図形の属するユークリッド空間は、アフィン空間に長さや角度という計量を加えたものになっている。また、このような計量は、内積によってもたらされる構造である。

 
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